MarriageTheoremのこと

_ 累次積分の順序交換不可能性に関するシェルピンスキーの結果を紹介した@kadamasaruさんのノートを（だいぶ前にダウンロードしていたのに、今頃になってようやく）読んだ。曰く、ZFC上で連続体仮説を仮定すると、正方形状の閉領域上の（つまり、実2変数の）関数を二つの変数について順次（ルベーグ）積分したとき、積分する変数の順番を入れ替えると（どちらの順番でも積分の値自体は定まるのに）最終的な値が一致しなくなる例が存在するとのこと。私の勝手な直感だと、連続体仮説が成り立たない場合の方が実数集合の構造が豊かになるような想像をしていたのだけど、連続体仮説の否定ではなく連続体仮説の成立を仮定した場合にこういう奇妙な例が現れるというのがなんとも趣深いなぁと思った。