MarriageTheoremのこと

_ （1/6記：元日。外出中ならともかく、自宅にいる以上はどんなに忙しくてもサッカー天皇杯決勝の中継だけは当日に観るぞと固く心に誓っていたので、録画で数時間遅れだったけれどもちゃんと試合を観戦した。京都サンガF.C.（←いまだに「京都パープルサンガ」と呼びそうになってしまう）対FC東京という初のJ2チーム同士の決勝として事前から話題になっていたこの試合、観戦してみると、確かに両チームが決勝まで勝ち上がってくるのも頷ける好ゲームだった。ちなみに、試合の最中に大きめの地震（会場のあった都内では震度４だったと思う）があって新年早々ヒヤリとさせられたのだが、試合会場では全く動じることなく試合が続行されていた。ああいうとき、選手や審判の方々は地震には気が付いているものなのだろうか。）

_ （1/6記：せめて食べ物だけでも正月気分を味わおうと思い、見よう見まねで雑煮を作ってみた。少々薄味になってしまったようだが、一応形にはなったのでよかった。）

_ （1/6記：少しは正月休み気分を味わうべきということで、妻が借りてきてくれたDVDの『インクハート』という映画を鑑賞した。面白いファンタジーで満足したのだけど、その中に悪党どもが登場人物の蔵書を破壊し燃やしてしまうという場面があり、自分でも驚くほど心が痛むのを感じた。自分で思っている以上に自分は本という存在が好きだったのだなぁと感じ入ったのだが、一方で、最近ちらほらと聞こえてくる「本の「自炊」（←購入者自らが本を分解・スキャンして電子データ化すること）は本を冒涜する行為」などという一部の作家の嘆きにはどうにも共感することができない。表面的には同じく本という存在を破壊する行為であるのだが、「自炊」では本の魂を愛でるために止むなく本の肉体を破壊するのに対して、先の悪党どもの行為は魂もろとも本を滅せんとする所業であり、そこに差があるのだろうなぁと考えを巡らせた。）

_ （1/6記：仕事始め。休み中も論文書いたり仕事をしていたといえばしていたのだが、職場まで行って帰ってくるという作業が加わるのはまた気分が違うものである。）

_ （1/6記：研究費で購入する数学書を物色していた。改めて、世の中には色々な本があるものだなぁと感心した。私もいずれは「世の中の色々な本」の中に自分の著書を加えてみたいものである。）

_ Twitterのタイムラインによると、どうやら近頃、某飲食店口コミ評価サイトでの「やらせコメント」の横行が問題になっているらしい。その件に関して、とある人（公式RTされて流れてきた）が「大相撲の八百長と一緒で、見る側が「そういうこともあるものだ」と認識した上で受け取るべきであって、そうした大らかさが失われているのは良くない」といった風な発言をしていた。だが、大相撲の八百長を問題だと感じない人であっても、もし仮に大相撲のリーグ戦が何らかの世界大会への代表選手の選考会になっていて、自分が代表選手を選ぶ側の立場であったら、同じく八百長を問題視しないでいられるだろうか。口コミ評価サイトというのは、あくまで見た人が良い店を選ぶためにある存在なのだから、大相撲のようにそれ自体で完結している興業よりも、むしろ代表選手の選考会に近い性質を持っている。そこでの「やらせ」行為を大相撲の八百長と同列に語るのは（大相撲の八百長を問題視するかしないかに関わらず）筋が通っていないだろうと考える。

_ （1/10記：三連休に突入したのだが、休日なにそれ美味しいの、と言わんばかりに論文書きに明け暮れていた。）

_ （1/10記：三連休中日。論文がようやく書き終わった。残る用事は翌日が〆切なのにまだ全く手を付けていない査読である。ひどい話だ。）

_ （1/10記：三連休最終日。この日〆切なのに前日にようやく手を付け始めた某論文の査読は、見覚えのある論文のような気がしたので「きっと以前査読した論文の修正版なのだろう、それならあまり手間がかからないな」と思い込んでいたのだけど、実はそれは気のせいで初見の論文であるということに前日ようやく気が付き冷や汗をかいた。しかし、数学ではなく情報系の論文でしかも理論よりも実験が主体の論文だったことと、別の査読者が既に査読した後の修正版だったため、ツッコミ所が殆ど無くて極めて順調に査読が進んだ。というわけで、どうにか無事〆切前に査読を終えることができほっと胸をなでおろしている。）

_ （1/12記：しばらく前から仕事関係のToDoリストを作らなければと気に掛け続けているのだが、忙しい日にはそんなことしている精神的余裕がないし、忙しくない日には折角だから数学に打ち込みたいのでやはりToDoリスト作りなんかする気になれない。というわけで、排中律を避けられるような絶妙な忙しさ具合の日が出てこないとずっとToDoリストは作られないままである。）

_ （1/12記：条件付採録になっていて修正版を送っていた某論文の採録通知が舞い込んできた。よかった。）

_ 私のお気に入り漫画の一つ「数学女子」がついにTwitterのトレンド欄に出現！？

…実は、昨日始まったテレビ新番組「数学女子学園」がTwitter上（の一部）で話題になっていたのだが、番組名の一部だけが熟語として認識されたためにこうなったというオチ（ちなみに、別の時点では「女子学園」がトレンド欄に出現していた）。私はこの番組はまだ観ていないけれども、上の決定的瞬間を目にすることができただけで充分な価値のある番組であったといえよう。

_ 今日某所で発表したときに発表スライドにTwitterのアイコンを載せておいたら、そのアイコンを見て私だと気が付いてびっくりしたというつぶやきを発表後に見つけた。うむ、本当に役立つとは思わなかったなぁ。

_ （1/17記：諸般の事情で京都土産の茶団子を一人で７本食べたら流石に後味が強烈だった。）

_ （1/17記：フィギュアスケートのエキシビション団体戦なるものを妻と一緒に観た。演技自体は、流石に日本国内のみならず世界でも一線級の選手が揃っていただけに非常に見応えのあるものだったのだが、中継のカメラワークの余りの酷さに二人して憤りを覚える場面が多かった。特に、今回に限らず近頃のフジテレビの中継ではいつもそうなのだが、やたらと天井カメラを多用したがる（おかげでステップの迫力やスピンの細かい体捌きが見えづらくなる）悪癖はほんとどうにかならないものだろうか。場合に応じて、持っている道具を「敢えて使わない」という選択ができるのも腕前のうちだと強く思う。

それにしても、安藤選手。トリノ五輪前後の逆風の最中にあっても彼女の今後の成長を信じていたような根強いファンの中でも、こういう方向に成長すると想像していた人はそう多くないんじゃないだろうか。あの表現力は「彼女ならでは」と称されるレベルに達しているのではないかと思っている。以前の「ジャンプの安藤選手」からは想像も付かなかったなぁ。）

_ （1/17記：一昨日まで京都に出張だったのに、また出張で京都に来ている。）

_ 「可算個の可算集合の和集合は可算集合」の証明に選択公理が使われている（より正確には、選択公理のない素のZF公理系と独立な命題である）ことはその筋の人には比較的良く知られているが、どうやら選択公理だけでなく冪集合の公理も使われているらしいという情報を得た。元ネタはarXiv:1110.2430v1らしい（ただし、査読前のプレプリントなので、内容が間違っている可能性も頭の片隅に置いておかねばならない*1）。しばらく考えてみたがどこで冪集合の公理が使われているのかよくわからないので、そのうち件のプレプリントを読んでみようかな。

_ arXiv:mathを5月1日分まで確認した。

_

　tenapiさんの日記の1月16日分で、チコノフの定理から選択公理を導く証明が話題になっていた。その証明において集合族の要素 \( A_i \) に一点 \( p \) を付け加えてコンパクト位相空間を作る際、件の日記でも私が最初にその証明を知った本の記述でも、\( A_i \) に補有限位相を導入している。しかし、もっと単純に \( A_i \) の位相は密着位相であるとしてしまっても証明自体は成立するので、何故わざわざ補有限位相を持ち出してくるのだろう、と最初に証明を読んだときから疑問に思っていた。
　そしたら、件の日記にそのヒントが記してあった。\( A_i \) に補有限位相を入れた場合には \( A_i \cup \{p\} \) がコンパクトかつ \( T_1 \) な空間になるので、同じ証明を用いて、チコノフの定理「コンパクト空間の直積はコンパクト」より見掛け上弱い形の「コンパクト \( T_1 \) 空間の直積はコンパクト」から選択公理を導くことができる。密着位相だと \( T_1 \) 空間にならないので上記のより強い主張の証明にはならないということである。これだけだと有難みが弱いと感じられるかもしれないが、似た形の「コンパクトハウスドルフ空間の直積はコンパクト」から選択公理は導けないという事実を考え合わせると、上記の拡張の味わいが深まるのではないだろうか（少なくとも、私にとっては深まった）。
　ここで、チコノフの定理（または上記のような亜種）から選択公理を導く標準的な証明のあらましをおさらいしてみる。集合族 \( (A_i)_i \) が与えられたとき、どの \( A_i \) にも属さない共通の一点 \( p \) を付け加えた上で（上記を参照に）適切に位相を定義して、コンパクト空間の族 \( (X_i := A_i \cup \{p\})_i \) を構成する。前提から、その直積 \( X = \prod_i X_i \) もコンパクト空間となる。さて、各 \( X_i \) について、 \( p \) の開近傍で全体集合 \( X_i \) とは異なるもの \( U_i \) を一つ選び（＊１）、それ以外の添字に対応する \( X_j \) たちとの直積を取って \( X \) の開集合 \( U'_i \) を作る。ここで以下の補題を証明する。

【補題】族 \( (U'_i)_i \) は \( X \) の開被覆ではない。
証明 開被覆であるとすると、有限な（＊２）部分被覆 \( (U'_i)_{i \in I} \) が取れる。一方、有限個の（＊３）非空集合の族 \( (X_i \setminus U_i)_{i \in I} \) に対する選択関数 \( f \) を取り（これは選択公理抜きで可能である）、 \( X \) の要素 \( g \) を \( i \in I \) のとき \( g(i) = f(i) \) 、 \( i \not\in I \) のとき \( g(i) = p \) と定義すると、これはどの \( i \in I \) に対する \( U'_i \) にも属さない。これは矛盾である。（証明終）

というわけで \( (U'_i)_i \) は \( X \) の開被覆ではないので、どの \( U'_i \) にも属さない \( g \in X \) が存在する。このとき各添字 \( i \) について \( g(i) \not\in U_i \) 、とくに \( g(i) \neq p \)　であるから、この \( g \) が直積 \( \prod_i A_i \) の要素となる。（証明終）
上の方針で、 \( X_i \) の位相としてコンパクト性以外の特別な性質を課さないとすると、全体と異なる \( p \) の開近傍を一つずつ選ぶ（上記下線（＊１））際に、選択公理抜きで一つずつ選び出す手掛かりがなくなってしまいかねない。このとき \( \{p\} \) 自体が開近傍であれば、その開近傍を明確に選び出すことができる。これが標準的な証明において \( p \) を孤立点として付け加えている理由と考えられる。ある位相的性質Pについて、この証明方針で「コンパクトかつPである位相空間の直積はコンパクト」から選択公理を導くには、（１）任意の集合に対して性質Pを持つコンパクトな位相を定義できる（２）孤立点を付け加えても性質Pが保たれる、の二つの条件があれば充分である（条件（１）を各集合 \( A_i \) に適用した上で孤立点 \( p \) を付け加えればよい）。Pが空っぽの場合（元々のチコノフの定理）には密着位相、Pが \( T_1 \) 性の場合には補有限位相を考えれば条件（１）が成り立つことがわかり、また（２）も成り立つのでこれらの場合には上記の証明が通用する。一方、Pがハウスドルフ性の場合、条件（２）が成り立つにもかかわらず証明の結論は成り立たないことがわかっているので、条件（１）が成り立たないということになる。
　上記の証明に関する別の観賞ポイントとして、上の補題の証明に着目すると、そこでは「任意の開被覆は有限部分被覆を含む」というコンパクト性の定義（上記下線（＊２））と、有限な非空集合族の選択関数の存在には選択公理を必要としないという洞察（上記下線（＊３））が決め手となっている。ということは、「有限」という部分をもっと大きな基数に取り換えたとしても、適切に弱めた選択公理の亜種を導入すれば同様の証明が成立するはずである。例えば、「コンパクト位相空間の直積はリンデレーフ空間（つまり、任意の開被覆は高々可算な部分被覆を含む）」から選択公理を導くためには、高々可算な非空集合族に対する選択関数の存在、即ち可算選択公理を導入すれば充分ということになる。逆に考えると、この種のチコノフの定理の亜種は、集合族のサイズに制限を加えた選択公理の亜種と制限なしの選択公理との差を埋めるものであるとも解釈できよう。
　ところで、上でも述べたように、通常の証明では各 \( A_i \) に共通の孤立点 \( p \) を付け加えるのであるが、別に付け加える点は孤立点でなくても、上記下線（＊１）のように付け加えた点の（全体と異なる）開近傍を一つずつ選び出せさえすれば充分である。そこで例えば、上記の位相的性質Pとしてハウスドルフ性を考えることにして、 \( A_i \) に離散位相を入れ、それを1点コンパクト化して \( X_i = A_i \cup \{p\} \) を構成すると、得られたコンパクト空間はハウスドルフ性を持つ。ここで、Axiom of Multiple Choice（以下AMC）*1を仮定しておくと、 \( A_i \) の空でない有限部分集合 \( B_i \) を選び出すことができて、 \( B_i \) は \( A_i \) のコンパクト部分集合なので、 \( U_i := X_i \setminus B_i \) と置くことで全体と異なる \( p \) の開近傍を一つずつ選べるので、やはり上記の証明が通用するようになる。そして、上記の議論にZF公理系の一部である基礎の公理は用いられていない。というわけで、AMC（これはZF公理系のもとでは選択公理と同値だが、AMCから選択公理の導出には基礎の公理を必要とするらしい）と「コンパクトハウスドルフ空間の直積はコンパクト」は単体ではどちらも「ZFマイナス基礎の公理」上では選択公理より真に弱いが、それらを合わせると「ZFマイナス基礎の公理」上で選択公理を導くことができる、という塩梅である。ちょっと面白い現象だなと思った。

_ arXiv:quant-phを5月1日分まで確認した。（arXiv:mathは5月1日分までのまま。）

_ IACR Cryptology ePrint Archiveを最新版（2012/018）まで確認した。これで肩の荷が一つ下りた。

_ （1/20記：京都出張終了。夜になったら力尽きて居間で寝入ってしまった。）

_ 今日は雪が降っているので、労働者としての権利を最大限に行使して先週土曜までの出張分の代休を取得して家に籠りつつ研究している。

_ IACR ePrintを2012/024まで確認。

_ （1/22記：先日書いたチコノフの定理と選択公理に関する考察に少し内容を追加したものを文書化してウェブページにて公開した（日付が変わってしまったが…）。興味のある方は中の人のページへどうぞ。）

_ プレプリント確認状況：arXiv:math 6月5日分まで、arXiv:quant-ph 5月31日分まで、IACR ePrint：2012/029まで

_ メモ：The Banach-Tarski paradox for flag manifolds、arXiv:1106.0432

_ バナッハ＝タルスキの定理を援用*1して色々なものを増やすというのはよくある数学ジョークの一つだが、単位球一つと二つが分割合同であるということは、球を増やす方向だけでなく減らす方向にも適用できるはずである。にもかかわらず、「減らす」という方向性で表現されたジョークは極めて稀である。「減らす」ことよりも「増やす」ことにばかり思考が働くというのは人類の欲深さという業の現れなのだろうか、などと先日のkagami_hrさんの至言を読んで考えたことをふと思い出したのでメモ。

_ プレプリント確認状況：arXiv:math 7月3日分まで、arXiv:quant-ph 5月31日分まで、IACR ePrint：2012/029まで

_ プレプリント確認状況：arXiv:math 7月18日分まで、arXiv:quant-ph 5月31日分まで、IACR ePrint：2012/029まで

_ プレプリント確認状況：arXiv:math 7月26日分まで、arXiv:quant-ph 5月31日分まで、IACR ePrint：2012/029まで

_ （1/27記：不慣れなので、暗号方式の安全性の相互関係を議論するときに何を仮定して何を結論すべきなのか順番がごっちゃになる。）

_ プレプリント確認状況：arXiv:math 7月31日分まで、arXiv:quant-ph 5月31日分まで、IACR ePrint：2012/029まで

_ （1/30記：料理を手伝ったら鍋を焦がした。）

_ （1/30記：プレプリント確認状況：arXiv:math 7月31日分まで、arXiv:quant-ph 5月31日分まで、IACR ePrint：2012/042まで）

_ さっきとある事情で久々に「コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続写像は閉写像」という定理を使った。この定理は個人的にかなり好きな方の部類に入る定理で、私は普段は数学に美しさというものをあまり求めないのだけれども、この定理とその証明には「論理の流れの美しさ」と「機能美」がともに満ちているように感じられる。数学の箱庭のようなイメージである。

_ 昨日から暗号・情報セキュリティ分野で最大の国内研究集会（というか、世界的にもこんな規模の国内研究集会は珍しいんじゃなかろうか）であるところのSCIS2012が開催されているのだが、私は悲しいことにこの日の午後の研修に出なければならず、研修が終わってから出発して初日の真夜中にようやく現地に着いた。研修のアンケートに八つ当たりしておいたので後で何か言われるかもしれないが、幸いにして２月は出張が多いのでほとぼりが冷めるまで逃げ回ることにしよう（笑）。